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单调队列之滑动窗口.md

小小城
2021-08-22 / 0 评论 / 0 点赞 / 6 阅读 / 2,560 字 / 正在检测是否收录...
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本文最后更新于 2022-05-02,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

单调队列之滑动窗口

也许这种数据结构的名字你没听过, 其实没啥难的, 就是⼀个「队列」 , 只是使⽤了⼀点巧妙的⽅法, 使得队列中的元素单调递增(或递减) 。 这个数据结构有什么⽤? 可以解决滑动窗⼝的⼀系列问题。

看⼀道 LeetCode 题⽬, 难度 hard:

给定一个数组 nums,有一个大小为 k 的滑动窗口从数组的最左侧移动到数组的最右侧。你只可以看到在滑动窗口内的 k 个数字。滑动窗口每次只向右移动一位。

返回滑动窗口中的最大值。

示例:

输入: nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], 和 k = 3
输出: [3,3,5,5,6,7] 
解释: 

  滑动窗口的位置                最大值
---------------               -----
[1  3  -1] -3  5  3  6  7       3
 1 [3  -1  -3] 5  3  6  7       3
 1  3 [-1  -3  5] 3  6  7       5
 1  3  -1 [-3  5  3] 6  7       5
 1  3  -1  -3 [5  3  6] 7       6
 1  3  -1  -3  5 [3  6  7]      7

⼀、 搭建解题框架

这道题不复杂, 难点在于如何在 O(1) 时间算出每个「窗⼝」 中的最⼤值,使得整个算法在线性时间完成。 在之前我们探讨过类似的场景, 得到⼀个结论:

在⼀堆数字中, 已知最值, 如果给这堆数添加⼀个数, 那么⽐较⼀下就可以很快算出最值; 但如果减少⼀个数, 就不⼀定能很快得到最值了, ⽽要遍历所有数重新找最值

回到这道题的场景, 每个窗⼝前进的时候, 要添加⼀个数同时减少⼀个数,所以想在 $O(1)$ 的时间得出新的最值, 就需要「单调队列」 这种特殊的数据结构来辅助了

⼀个「单调队列」 的操作也不多:

class MonotonicQueue {
	// 在队尾添加元素 n
	void push(int n);
	
	// 返回当前队列中的最⼤值
	int max();
	
	// 队头元素如果是 n, 删除它
	void pop(int n);
}
class Solution {
public:
    vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
		MonotonicQueue window;
		vector<int> res;
		for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
			if (i < k - 1) { //先把窗⼝的前 k - 1 填满
				window.push(nums[i]);
			} 
			else
			{ // 窗⼝开始向前滑动
				window.push(nums[i]);
				res.push_back(window.max());
				window.pop(nums[i - k + 1]);
				// nums[i - k + 1] 就是窗⼝最后的元素
			}
		} 
		return res;
    }
};

在这里插入图片描述

这个思路很简单, 能理解吧? 下⾯我们开始重头戏, 单调队列的实现。

⼆、 实现单调队列数据结构

⾸先我们要认识另⼀种数据结构: deque, 即双端队列。 很简单:

class deque {
	// 在队头插⼊元素 n
	void push_front(int n);
	
	// 在队尾插⼊元素 n
	void push_back(int n);
	
	// 在队头删除元素
	void pop_front();
	
	// 在队尾删除元素
	void pop_back();
	
	// 返回队头元素
	int front();
	
	// 返回队尾元素
	int back();
};

这些操作的复杂度都是 $O(1)$

单调队列」 的核⼼思路和「单调栈」 类似。 单调队列的 push ⽅法依然在队尾添加元素, 但是要把前⾯⽐新元素⼩的元素都删掉

class MonotonicQueue {

private:
	deque<int> data;
public:
	void push(int n) 
	{
		while (!data.empty() && data.back() < n)
			data.pop_back();
		data.push_back(n);
	}
};

你可以想象, 加⼊数字的⼤⼩代表⼈的体重, 把前⾯体重不⾜的都压扁了,直到遇到更⼤的量级才停住。

在这里插入图片描述

如果每个元素被加⼊时都这样操作, 最终单调队列中的元素⼤⼩就会保持⼀个单调递减的顺序, 因此我们的 max() API 可以可以这样写:

int max() {
	return data.front();
}

pop() API 在队头删除元素 n, 也很好写:

void pop(int n) {
	if (!data.empty() && data.front() == n)
		data.pop_front();
}

之所以要判断 data.front() == n , 是因为我们想删除的队头元素 n 可能已经被「压扁」 了, 这时候就不⽤删除了

⾄此, 单调队列设计完毕, 看下完整的解题代码:

class MonotonicQueue 
{
private:
	deque<int> data;
public:
	void push(int n) 
	{
		while (!data.empty() && data.back() < n)
			data.pop_back();
		data.push_back(n);
	} 
	int max() 
	{ 
		return data.front(); 
	}
	
	void pop(int n) 
	{
		if (!data.empty() && data.front() == n)
			data.pop_front();
	}
};

vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) 
{
	MonotonicQueue window;
	vector<int> res;
	
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++) 
	{
		if (i < k - 1) 
		{ //先填满窗⼝的前 k - 1
			window.push(nums[i]);
		} 
		else 
		{ // 窗⼝向前滑动
			window.push(nums[i]);
			res.push_back(window.max());
			window.pop(nums[i - k + 1]);
		}
	} 
	return res;
}

读者可能疑惑, push 操作中含有 while 循环, 时间复杂度不是 $O(1)$ 呀, 那
么本算法的时间复杂度应该不是线性时间吧?

单独看 push 操作的复杂度确实不是 $O(1)$, 但是算法整体的复杂度依然是$O(N)$线性时间。 要这样想, nums 中的每个元素最多被 $push_back$ 和$pop_back$ ⼀次, 没有任何多余操作, 所以整体的复杂度还是 $O(N)$。空间复杂度就很简单了, 就是窗⼝的⼤⼩$O(k)$。

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