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跳石板.md

小小城
2021-08-22 / 0 评论 / 0 点赞 / 5 阅读 / 2,126 字 / 正在检测是否收录...
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本文最后更新于 2022-05-02,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

跳石板

@[toc]

一、题目描述

小易来到了一条石板路前,每块石板上从1挨着编号为:1、2、3.......
这条石板路要根据特殊的规则才能前进:对于小易当前所在的编号为K的 石板,小易单次只能往前跳K的一个约数(不含1和K)步,即跳到K+X(X为K的一个非1和本身的约数)的位置。 小易当前处在编号为N的石板,他想跳到编号恰好为M的石板去,小易想知道最少需要跳跃几次可以到达。

例如:
N = 4,M = 24:
4->6->8->12->18->24
于是小易最少需要跳跃5次,就可以从4号石板跳到24号石板
  •  输入描述:
输入为一行,有两个整数N,M,以空格隔开。 (4 ≤ N ≤ 100000) (N ≤ M ≤ 100000)
  •  输出描述:
输出小易最少需要跳跃的步数,如果不能到达输出-1
示例1
输入
4 24
输出
5

二、分析

  •  这道题如果用暴力求解方法会超时,
  •  所以这道题可以用动态规划来求解,对于动态规划来说,主要就是那几个:[状态][选择][状态转移方程]
  •  对于这道题来说,状态显然就是当前所在的位置N,选择就是除1和N外的所有因子
  •  状态选择有了就可以定义dp数组的含义:dp[i]代表从N到i的最少移动步数,base case就是dp[N] = 0
  •  接下来就是动规的重要一步,找出状态转移方程,这道题和其他动规不同的是无法明确的知道’上一个‘状态是什么?所以这里我们需要根据N的因子来决定
  •  对于dp[N] 遍历N的因子(sub[i-j]) ,dp[N+sub[i-j]]即为可到达且从N一步到达,这里dp[N+sub[i-j]]和dp[N]+1取最小值即可
  •  所以状态转移方程:dp[i+sub[j]]=min(dp[i+sub[j]],dp[i]+1)
  •  到这里大问题就解决了,还有很多细节问题,比如如果所有的i + sub[j]都不等于M怎么办,即无法从N走到M怎么表示,所以这里在初始化dp数组时需要一个特殊值

三、代码

//闲着没事不要跳石板了,谢谢
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//在求因子的时候要注意同时求除数和被除数,否则会超时
void getsub(vector<int>&sub,int num)
{
    sub.clear();
    for(int i = 2;i * i <= num;++i)
    {
    	//除数
        if(num % i == 0)
        {
            sub.push_back(i);
            //被除数
            if(i != num / i)
                sub.push_back(num / i);
        }
    }
}

int main()
{
    int N,M;
    cin>>N>>M;
    
    //保存因子
    vector<int>sub;
	
	//初始化dp数组为INT_MAX,最后用来区分
    vector<int>dp(M+1,INT_MAX);

	//base case
    dp[N]=0;
    
    //构造dp矩阵
    for(int i = N;i <= M;++i)
    {
    	//代表这条路行不通,没有到达i的方案,判断下一个N
        if(dp[i] == INT_MAX)
            continue;
        //获取因子
        getsub(sub,i);
        for(int j = 0;j < sub.size();++j)
        {
            if(i + sub[j] <= M)
            	//跳到的下一个位置肯定是当前位置+因子,
            	//那么dp[下一个位置] = dp[当前位置 + 因子] = dp[当前位置] + 1
            	//因为可能不只一次到达,所以求min
                dp[i + sub[j]] = min(dp[i + sub[j]],dp[i] + 1);
        }
    }

	//初始化的作用
    if(dp[M] == INT_MAX)
        cout<<-1<<endl;
    else
        cout<<dp[M];
    return 0;
}
  •  另一种写法
#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    int N,M;
    while(cin>>N>>M)
    {
        vector<int> steps(M + 1,INT_MAX);
        steps[N] = 0;
        for(int i = N;i <= M;i++)
        {
            if(steps[i] == INT_MAX)
            {
                continue;
            }
            
            for(int j = 2;(j * j) <= i;j++)
            {
                if(i % j == 0)
                {
                    if(i + j <= M)
                    {
                        steps[i + j] = min(steps[i] + 1,steps[i + j]);
                    }
                    
                    if(i + (i / j) <= M)
                    {
                        steps[i + (i / j)] = min(steps[i] + 1,steps[i + (i / j)]);
                    }

                }

            }
        }
        if(steps[M] == INT_MAX){
            steps[M] = -1;
        }
        cout<<steps[M]<<endl;
    }
    return 0;
}
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