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运用贪心思想解决跳跃游戏.md

小小城
2021-08-22 / 0 评论 / 0 点赞 / 5 阅读 / 2,498 字 / 正在检测是否收录...
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运用贪心思想解决跳跃游戏

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Jump Game I

1.题目描述

在这里插入图片描述

2.分析

  •  不知道读者有没有发现,有关动态规划的问题,大多是让你求最值的,比如最长子序列,最小编辑距离,最长公共子串等等等。这就是规律,因为动态规划本身就是运筹学里的一种求最值的算法。
  •  那么贪心算法作为特殊的动态规划也是一样,也一定是让你求个最值。这道题表面上不是求最值,但是可以改一改:
  •  请问通过题目中的跳跃规则,最多能跳多远?如果能够越过最后一格,返回 true,否则返回 false。
  •  所以说,这道题肯定可以用动态规划求解的。但是由于它比较简单,下一道题再用动态规划和贪心思路进行对比,现在直接上贪心的思路:

3.代码

bool canJump(vector<int>& nums) 
{
    int n = nums.size();
    int farthest = 0;
    
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) 
    {
        // 不断计算能跳到的最远距离
        farthest = max(farthest, i + nums[i]);
        // 可能碰到了 0,卡住跳不动了
        if (farthest <= i) 
        	return false;
    }
    return farthest >= n - 1;
}
  •  你别说,如果之前没有做过类似的题目,还真不一定能够想出来这个解法。每一步都计算一下从当前位置最远能够跳到哪里,然后和一个全局最优的最远位置 farthest 做对比,通过每一步的最优解,更新全局最优解,这就是贪心。

很简单是吧?记住这一题的思路,看第二题,你就发现事情没有这么简单。。。

Jump Game II

1.问题描述

在这里插入图片描述

2.分析

现在的问题是,保证你一定可以跳到最后一格,请问你最少要跳多少次,才能跳过去。

  •  我们先来说说动态规划的思路,采用自顶向下的递归动态规划,可以这样定义一个 dp 函数:
// 定义:从索引 p 跳到最后一格,至少需要 dp(nums, p) 步
int dp(vector<int>& nums, int p);
  •  我们想求的结果就是 dp(nums, 0),base case 就是当 p 超过最后一格时,不需要跳跃
if (p >= nums.size() - 1) {
    return 0;
}
  •  我们可以暴力穷举所有可能的跳法,通过备忘录 memo 消除重叠子问题,取其中的最小值最为最终答案:

3.动规代码【超时】

vector<int> memo;
// 主函数
int jump(vector<int>& nums) 
{
    int n = nums.size();
    // 备忘录都初始化为 n,相当于 INT_MAX
    // 因为从 0 调到 n - 1 最多 n - 1 步
    memo = vector<int>(n, n);
    return dp(nums, 0);
}

int dp(vector<int>& nums, int p) 
{
    int n = nums.size();
    
    // base case
    if (p >= n - 1) 
    {
        return 0;
    }
    
    // 子问题已经计算过
    if (memo[p] != n) 
    {
        return memo[p];
    }
    
    int steps = nums[p];
    
    // 你可以选择跳 1 步,2 步...
    for (int i = 1; i <= steps; i++) 
    {
        // 穷举每一个选择
        // 计算每一个子问题的结果
        int subProblem = dp(nums, p + i);
        // 取其中最小的作为最终结果
        memo[p] = min(memo[p], subProblem + 1);
    }
    return memo[p];
}
  •  该算法的时间复杂度是 递归深度 × 每次递归需要的时间复杂度,即 O(N^2),在 LeetCode上是无法通过所有用例的,会超时。

4.贪心代码

  •  贪心算法比动态规划多了一个性质:贪心选择性质。我知道大家都不喜欢看严谨但枯燥的数学形式定义,那么我们就来直观地看一看什么样的问题满足贪心选择性质。
  •  刚才的动态规划思路,不是要穷举所有子问题,然后取其中最小的作为结果吗?核心的代码框架是这样:
    int steps = nums[p];
    // 你可以选择跳 1 步,2 步...
    for (int i = 1; i <= steps; i++) 
    {
        // 计算每一个子问题的结果
        int subProblem = dp(nums, p + i);
        res = min(subProblem + 1, res);
    }
  •  for 循环中会陷入递归计算子问题,这是动态规划时间复杂度高的根本原因。
  •  但是,真的需要【递归地】计算出每一个子问题的结果,然后求最值吗?直观地想一想,似乎不需要递归,只需要判断哪一个选择最具有【潜力】即可:

在这里插入图片描述

  •  比如上图这种情况,我们站在索引 0 的位置,可以向前跳 1,2 或 3 步,你说应该选择跳多少呢?
  •  显然应该跳 2 步调到索引 2,因为 nums[2] 的可跳跃区域涵盖了索引区间 [3..6],比其他的都大。如果想求最少的跳跃次数,那么往索引 2 跳必然是最优的选择
  •  你看,这就是贪心选择性质,我们不需要【递归地】计算出所有选择的具体结果然后比较求最值,而只需要做出那个最有【潜力】,看起来最优的选择即可。
  •  绕过这个弯儿来,就可以写代码了
int jump(vector<int>& nums) 
{
    int n = nums.size();
    int end = 0, farthest = 0;
    
    int jumps = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) 
    {
        farthest = max(nums[i] + i, farthest);
        if (end == i) 
        {
            jumps++;
            end = farthest;
        }
    }
    return jumps;
}

结合刚才那个图,就知道这段短小精悍的代码在干什么了:
在这里插入图片描述

  •  i 和 end 标记了可以选择的跳跃步数,farthest 标记了所有选择 [i..end] 中能够跳到的最远距离,jumps记录了跳跃次数。
  •  本算法的 时间复杂度 O(N),空间复杂度 O(1), 可以说是非常高效,动态规划都被吊起来打了。
  •  至此,两道跳跃问题都使用贪心算法解决了。
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